Počáteční varování je v pořádku: důvod pro diskusi o tomto tématu je trochu matoucí, když se snažíme vyhnout matematickému zápisu; například pojmy „statistika v čase“ a „statistika podle realizace“ potřebují trochu přemýšlet ...

Ale jdeme na to, přesto…

######

Stochastický proces (SP) je soubor náhodných proměnných (RV) indexovaných podle času,

$k$

.

Stacionární SP je statistika RV, která je „házena“ v každém okamžiku

$k$

, jsou po celou dobu invariantní; tyto „statistiky“ jsou obvykle průměrem, rozptylem a průběžnými vlastnostmi (kovariance, korelace) RV.

Teoreticky to pro daný SP nazývejte

$x[k]$

, kde

$k$

je diskrétní index času (diskrétní SPs jsou jednodušší pochopit než nepřetržité SPs), můžete vytvořit velmi vysoký (i nekonečný) počet „realizací“, tj. „instance“ tohoto SP: nazývejte je

$x_1[k], x_2[k],\cdots x_r[k] \cdots$

kde

$r$

je index realizace.

Tady tedy hrají dva indexy:

$k$

za čas; a

$r$

pro realizaci.

Na obrázku níže, týkajícím se souvislého SP, je časová proměnná

$t$

(vodorovná osa) a realizace jsou indexovány pomocí A, B, C, D,… (vertikální osa) a

$X$

je označení SP. To ilustruje význam dvou os spojených s SP.

Získat statistiku RV

$x[k_0]$

v určitém okamžiku,

$k_0$

, musíme chytit hodnotu toho RV převzatého při několika realizacích,

$x_r[k_0], r=1,2,3,\cdots$

. Tato operace je označena zeleným obdélníkem na obrázku výše.

Příkladme s průměrem

$\mu_{x[k_0]}$

odhadováno ze vzorku

$R+1$

realizace (mezi nakonec nekonečným počtem realizací SP…)

$\mu_{x[k_0]} \approx \frac{1}{R+1}\sum_{r=r_0}^{r_0+R} x_r[k_0]$

SP je stacionární, pokud statistiky spolu

$k$

nemění se. To je, pokud člověk počítá, pro daný

$k=k_0$

, statistika

$x_r[k_0]$

pro

$r=1,2,3,\cdots$

, platí pro všechny časové okamžiky

$k$

$(the statistics include covariance of x[k_0] with other RVs [math]x[k][/math], [math]k\ne k_0[/math], of the same SP located at other time instants).$

Jako příklad použijeme opět průměrnou statistiku, ve stacionárním SP můžeme psát

$\mu_{x[k]} \equiv \mu_X, \quad \forall \; k \quad$

(pro stacionární SP)

######

SP je ergodické, pokud statistiky vzaté podle časového indexu,

$k$

, jsou stejné jako statistiky pořízené podél realizační osy (jako průměr vypočtený dříve), indexované podle

$r$

.

V praxi pro SP, kde máme přístup pouze k jedné realizaci,

$r_0$

, (a je jich mnoho) ergodicita znamená, že můžeme „extrahovat“ statistiku (průměr, rozptyl atd.) z této jediné realizace

$r_0$

, vzorkováním několika

$x[k]$

podél časové osy,

$k$

, namísto průměrování

$r$

$. This time statistics, taken along time k, is indicated by the red rectangle in the previous picture.$

Vraťme se znovu k průměrným výpočtům (za předpokladu, že počet vzorků,

$R$

, je sudá hodnota) a pomocí jediné realizace,

$r_0$

z SP:

$\mu_{x[k_0]} \approx \frac{1}{R+1}\sum_{k=k_0-R/2}^{k_0+R/2} x_{r_0}[k]\quad$

(pro ergodický SP)

######

Abychom uvedli konkrétní příklady, řekněme si, jak navrhnout stacionární a ergodický SP a další SP, který je stacionární, ale nikoli ergodický.

#########

Vezměme si dvě kostky: obyčejné šestimístné kostky, D6; a méně obyčejné 4-obličejové kostky, D4. Podívejte se na obrázek níže, který ukazuje několik kostek na obličeji :-). Spodní kostky jsou typy se šesti a čtyřmi tvářemi.

V našem SP hodíme kostkami 100krát. Ale uděláme to dvěma různými způsoby.

[1] Stacionární a ergodický SP

$X1$

je vytvořen výběrem vždy 6-obličejové kostky, D6 a 100-ti hodením, pomocí

$k$

jako index vzorku, který je ekvivalentní času. Níže jsou uvedeny možné vzorky (zjednodušené). První řádek má horizontální časový index

$k$

; vertikální osa je označena realizačním indexem,

$r$

. Každá realizace má nakonec informaci o kostkách použitých v ní.

— k=1, 2, 3, 4, 5, … 99, 100

r = 1; 1 3 4 4 1… 2 1 (D6)

r = 2; 6 4 2 2 3… 5 5 (D6)

r = 3; 4 4 1 2 6… 1 6 (D6)

....

[2] Stacionární, ale nikoli ergodický SP

$X2$

je vytvořen tak, že nejprve vyberete buď 6-čelní kostky, D6, nebo 4-čelní kostky, D4, s 50% pravděpodobností, že si vyberete každý, a 100krát se hodí. Níže jsou uvedeny také možné vzorky (také zjednodušené).

— k=1, 2, 3, 4, 5, … 99, 100

r = 1; 2 3 5 4 1… 3 2 (D6)

r = 2; 1 1 4 2 2… 3 3 (D4)

r = 3; 4 4 1 2 2… 1 1 (D4)

r = 4; 5 3 1 2 5… 1 1 (D6)

....

######

Oba SP jsou nehybní, protože v obou zkušenostech zůstávají statistiky po celou dobu stejné (hod kostkami,

$k=1,\cdots,100$

). Pravděpodobnostní zákon spojený s každým RV,

$x[k]$

, je vždy stejný.

Pokud jde o průměrnou hodnotu každé kostky, jsou

$\mu_{D6}=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5$

(pokud D6) a

$\mu_{D4}=(1+2+3+4)/4=2.5$

(pokud D4).

Nyní se zamyslíme nad SP

$X1$

. Pokud odhadneme průměr

$\mu_{X1}$

buď se vzorky podél času

$k$

v určité realizaci

$r_0$

nebo na určitou dobu

$k_0$

$, with samples along the realization axis, r, we will get the same value 3.5 (when the number of samples goes to infinity) because the dice will always be the same. So, the process [math]X1[/math] is ergodic since averages along time and along realization are the same.$

Ale SP

$X2$

není ergodický. Pokud odhadneme průměr podél časové osy,

$k$

, buď dostaneme 3,5, pokud kostky použité v tomto případě jsou D6, nebo dostaneme 2,5, průměr kostek D4, pokud se používá.

Ale pokud odhadneme průměr, v daném okamžiku

$k_0$

, podél realizační osy,

$r$

, žádnou z těchto hodnot nedostaneme. Protože každá realizace má 50% pravděpodobnost použití D4 a 50% pravděpodobnost použití D6, je průměrný odhad pro velký počet vzorků

$\mu_{k_0}=0.5(3.5+2.5)=3$

, hodnota, kterou lze „nikdy“ odhadnout (v pravděpodobnostním smyslu) pomocí časového průměru v jedné realizaci.

######

Takže to byly dva příklady, které, jak doufám, odpovídají na vaši otázku.

HTH

Ergodický proces je proces, pro který je fázový prostor spojen za daných podmínek vnějších proměnných. Neefododický proces je proces, pro který není fázový prostor spojen za daných podmínek.

Jednoduchý příklad:

Vezměme si dvourozměrný Isingův model - Wikipedia na nekonečné mříži, v nulovém magnetickém poli, s nějakým typem jednorázové rotace. Při vysoké teplotě

$T > T_c$

, tento model je ergodický. Ale při nízké teplotě

$T < T_c$

, model není ergodický, protože přístupná oblast fázového prostoru je rozdělena na dvě oddělené části.